3次元DLT法②(DLTパラメータの計算②)

3次元DLT法③(3次元座標の算出)

バイオメカニクス

2020.09.01

P先生

前回はDLTパラメータを求めたので、実際の3次元座標を算出していこう。
2台分のカメラのDLTパラメータは計算できたかな？

Aくん

はい、計算しました！

P先生

これで3次元座標を算出する準備ができたね。

カメラ1とカメラ2の2台分のデジタイズデータがあるはずなので、i番目の3次元座標を算出することができます。

\begin{eqnarray}
\begin{bmatrix}
L1_1 – L9_1U_{i1} & L2_1 – L10_1U_{i1} & L3_1 – L11_1U_{i1} \\
L5_1 – L9_1V_{i1} & L6_1 – L10_1V_{i1} & L7_1 – L11_1V_{i1} \\
L1_2 – L9_2U_{i2} & L2_2 – L10_2U_{i2} & L3_2 – L11_2U_{i2} \\
L5_2 – L9_2V_{i2} & L6_2 – L10_2V_{i2} & L7_2 – L11_2V_{i2}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
X_i \\ Y_i \\ Z_i
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
U_1 – L4_1 \\ V_1 – L8_1 \\ U_2 – L4_2 \\ V_2 – L8_2
\end{bmatrix} \tag{1}
\end{eqnarray}

$ U_{i1} $,$ V_{i1} $はそれぞれカメラ1のi番目のデジタイズデータを意味しており、$ X_i , Y_i , Z_i $はそれぞれ、i番目の3次元座標値を意味しています。

P先生

このままでは計算が行いにくいので、前々回同様に行列を整理してみよう。

左辺の$ 4行3列 $の行列を$ A $、$ 3行1列 $の行列を$ X $、
右辺の$ 4行1列 $の行列を$ B $と置くと、下記のように示すことができます。
\begin{eqnarray}
AX = B
\tag{2}
\end{eqnarray}

まずは$ A $の転置行列$ A^{ \mathrm{ T } } $を式(2)の両辺の左側からかけてやります。

\begin{eqnarray}
\begin{bmatrix} A^{ \mathrm{ T } }A \end{bmatrix}X =A^{ \mathrm{ T } }B
\tag{3}
\end{eqnarray}

次に$ A^{ \mathrm{ T } }A $の逆行列$\begin{bmatrix} A^{ \mathrm{ T } }A \end{bmatrix}^{ \mathrm{ -1 } }$を式(3)の両辺の左側からかけてやります。

\begin{eqnarray}
\begin{bmatrix} A^{ \mathrm{ T } }A \end{bmatrix}^{ \mathrm{ -1 } } \begin{bmatrix} A^{ \mathrm{ T } }A \end{bmatrix}X =\begin{bmatrix} A^{ \mathrm{ T } }A \end{bmatrix}^{ \mathrm{ -1 } }A^{ \mathrm{ T } }B
\tag{4}
\end{eqnarray}

行列式の性質より、$ \begin{bmatrix} A^{ \mathrm{ T } }A \end{bmatrix}^{ \mathrm{ -1 } } \begin{bmatrix} A^{ \mathrm{ T } }A \end{bmatrix} =1$であるので、式(4)は下記のようになります。

\begin{eqnarray}
X =\begin{bmatrix} A^{ \mathrm{ T } }A \end{bmatrix}^{ \mathrm{ -1 } }A^{ \mathrm{ T } }B
\tag{5}
\end{eqnarray}

Aくん

できました！

P先生

イイね。
では、まずはキャリブレーションで使用したカメラの映像から、3次元座標を算出してみよう。
標準誤差を算出するための手順でもあるよ。

　　　
カメラ1のデジタイズデータ　　カメラ2のデジタイズデータ